МІНІСТЕРСТВО ОСТВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" МЕТОДИ УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Інструкція до лабораторної роботи № 1 з курсу: "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" Затверджено на засіданні кафедри «Захист інформації» Протокол № __ від... Львів – 2007 Методи уточнення коренів нелінійних рівнянь: Інструкція до лабораторної роботи №1 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" /Укл.: Л.В. Мороз, З.М. Стрілецький, В.М. Іванюк - Львів: НУ “ЛП”, 2007.- 16 с. Укладачі: Леонід Васильович Мороз, к.т.н., доц. Зеновій Михайлович Стрілецький, к.т.н., доц. Віталій Миколайович Іванюк, асист. Відповідальний за випуск: І.Я. Тишик, ст.вик. Рецензенти: В.В. Хома, д.т.н., проф., В.М. Максимович, к.т.н., доц. Мета роботи – ознайомлення з методами уточнення коренів нелінійних рівнянь з одним невідомим. ВСТУП Нехай задане рівняння
, (1) де
– неперервна функція, визначена на проміжку
і має різні знаки на кінцях цього проміжку, тобто виконується умова
(2) Крім того,
та
– неперервні і зберігають знак на проміжку
. Необхідно знайти корінь рівняння (1) із заданою граничною абсолютною похибкою Е. Поширеним методом розв’язку цієї задачі є метод поділу проміжку навпіл, метод хорд, метод Ньютона (дотичних), комбінований метод хорд та дотичних, метод простої ітерації, метод Ейткена–Стефенсона і метод Стефенсона. МЕТОДИ УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Метод поділу проміжку навпіл Цей метод є простим і надійним алгоритмом знаходження коренів рівняння (1). Суть методу полягає в тому, що відрізок
ділиться навпіл, тобто вибирається перше наближення кореня /рис.1/.
(3) Якщо
, тоді
є коренем рівняння (1). 
Рис.1. Якщо
, то вибирають той з відрізків
чи
, на кінцях якого функція має різні знаки. Одержаний відрізок знову ділять навпіл і т.д. Процес обчислень проводиться доти, доки величина відрізку
не стане меншою від заданої похибки Е. Метод досить стійкий до похибок заокруглень. Але й збігається теж повільно. При збільшенні точності значно зростає об’єм обчислень. Тому на практиці метод часто використовують для грубого визначення початкового наближення до кореня, а пізніше застосовують швидко збіжний ітераційний метод. Алгоритм методу половинного ділення. Задати значення параметрів а, b та граничної абсолютної похибки Е . Обчислити значення функцій
в точці а, тобто обчислити
. Поділити проміжок
навпіл, тобто знайти точку

. Перевірити умову
? Якщо так, то перейти до п.7. Якщо добуток
, то
, в протилежному випадку
. Якщо
, то перейти до п.3. Надрукувати (вивести) значення
. Закінчити виконання програми. Значення Е задається в межах 10 –4(10 –6.
Метод хорд Цей метод забезпечує швидшу збіжність, ніж метод поділу проміжку навпіл. Ідея методу полягає в тому, що на достатньо малому проміжку
функція
змінюється лінійно і тому дуга кривої
замінюється хордою, яка її стягує. За наближене значення кореня можна прийняти точку перетину хорди з віссю абсцис (точка А на рис.2) 
Рис.2 Рівняння прямої, яка проходить через точки
і
:
Точка А є наближеним коренем
, яка була знайдена з рівняння прямої, якщо покласти
, тоді
:
(4) Якщо значення кореня
нас не задовольняють, його можна уточнити, застосувавши метод хорд до відрізку
.
(5) Ітераційна формула методу хорд
За наведеними формулами обчислюють корені і тоді, коли
;
;
;
, тобто, коли
. У випадку, коли перша і друга похідні мають різні знаки, тобто
,то ітераційна формула має вигляд
(6) Зауважимо, що формули (5) та (6) тотожні. Обчислення виконуються доти, доки відмінність між двома послідовно обчисленими значеннями
i
не будуть меншими за Е
(7) де Е – задана гранична абсолютна похибка. Алгоритм методу хорд
Метод Ньютона Метод послідовних наближень, розроблений Ньютоном, широко використовується при побудові ітерац...